CALCULAR ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO RECTANGULO

· apalancamiento el Teorema de Pitágoras para encontré las longitudes desconocidas del los lados después un triangles rectángulo.

Estás mirando: Calcular angulos interiores de un triangulo rectangulo

· lo encontré las largo y ángulos desconocidos ese un triangulos rectángulo.

· Encontrar der valores exactos ese una constan trigonométrica para anglos que miden 30°, 45°, y 60°.

· resolver problemas de apps usando trigonometría ese triángulos rectángulos.


Supongamos los debes cliente una rampa y no sabes qué tan larga debiera ser ser. Conoces ciertas medidas de ángulo y longitudes ese lados, pero necesitas encontraba la información faltante.

*

Hay seis funciones trigonométricas ese puedes aprovechar para cálculo lo que alguna conoces. Ahora aprenderás a apalancamiento dichas decastas para convenio problemas que incluir triángulos rectángulos.


Hay múltiples formas de determinar la información desconocida en un triangles rectángulo. Una después estas formas denominada el La fórmula los relaciona ns longitudes ese los lado de alguna triángulo rectángulo:

*
, donde c eliminar la hipotenusa , y uno y b son los catetos ese triángulo rectángulo.


")">Teorema del Pitágoras
, que dice .

Supongamos los tienes un triangles rectángulo en el que a y b son las longitudes de sus catetos y c denominaciones la longitud después la hipotenusa, qué se exhibida abajo.

*

Si conoces la longitud del dos después los lados, después puedes influencia el Teorema del Pitágoras () para cálculo la longitud después tercer lado. Laa vez los conoces todos los lados, puedes aprovechar todas las funciones trigonométricas.


Ejemplo

Problema

Encontrar der valores del

*
 y
*
.

*

*

Puedes inmediatamente calcular la tangente a partir de su definir y de la información dentro el diagrama.

*

Para encontrar los valor de la secante, necesitarás la longitud de la hipotenusa. Usa ns Teorema ese Pitágoras para lo encontré la longitud después la hipotenusa.

*

Ahora calcular sec X usó la definición de secante.

Respuesta

*


¿Cuál denominada el valor después

*
?

*
 

A)

B)

C)

D)


A)

Incorrecto. Encontraste cos R dentro de lugar de csc R. Usa el Teorema de Pitágoras para encontraba la longitud de lado opuesto. Luego dividir la hipotenusa entre ns lado opuesto. La respuesta correcta es.

B)

Incorrecto. Parece que usaste el esquina incorrecto y encontraste

*
. Recordar que der dos anglos agudos te darán distintos valores después función trigonométrica. Usa el Teorema ese Pitágoras para lo encontré la longitud después lado opuesto. Luego dividir la hipotenusa entre los lado opuesto. La respuesta correcta es .

C)

Correcto. Necesitas sabe la longitud ese lado opuesto, vía lo los usas los Teorema después Pitágoras: . Esto se simplifica ns

*
. Resolviendo la ecuación obtienes
*
. Usar la definir de la cosecante,
*
.

D)

Incorrecto. Quizás usaste la definición correcta,

*
, y usaste ns Teorema ese Pitágoras para encontré la longitud después lado opuesto, r, pero arreglaste incorrectamente la ecuación. Debería oveja . La respuesta correcta es .

Algunos problemas puede ser ~ proporcionar los valores de dos motivos trigonométricas hacía un esquina y pedirte los encuentres el valor de otras razones. No tener embargo, realmente sólo necesitas conocer el valor ese una causa principal trigonométrica hacia encontrar el valor de alguna otra causa principal trigonométrica para el mismo ángulo.


Ejemplo

Problema

Para el ángulo grave A,

*
. Encontrar los valores del
*
 y
*
.

*

Primero necesitas dibujar un triangles rectángulo donde

*
.

La tangente es la razón del lado contender y del lado adyacente. Se muestra ns triángulo qué es más simple ese puedes aprovechar que tenga esta razón. tiene una longitud de lado controvertidas de 2 y laa longitud ese lado adyacente de 5. Pudiste haber usado un triángulo oms lado contender mida 4 y junto a adyacente mida 10. (Sólo necesitas la porque para duele a

*
).

*

Puedes apalancamiento el Teorema ese Pitágoras para encontraba la hipotenusa.

*

Luego empleas la definir de coseno para lo encontré cos A.

*

Ahora usas el verdad de ese sec a = 1/cos a para encontrar sec A.

Respuesta

*
,
*


Ejemplo

Problema

Si el ángulo X eliminar un ángulo agudo con

*
, ¿cuál eliminar el valor después
*
?

*

En éste triángulo rectángulo, ya que

*
, la porque del lado contender y la hipotenusa eliminar
*
. Ns triángulo además simple los podemos apalancamiento que tengo esa razón sería el triángulo que tiene una longitud del lado contender de tres y laa longitud después hipotenusa ese 4.

*

Podemos apalancamiento el Teorema ese Pitágoras para encontrar la longitud después cateto desconocido.

*

*

*

Puedes calcula la cotangente usó la definición.

O puedes lo encontré la cotangente calculando primero la tangente y en el momento más tarde su recíproco.

Respuesta

*


Resolviendo Triángulos Rectángulos


A decidir todas los longitudes después los las fiestas y medidas del los ángulos de un triángulo rectángulo se le contar resolver los triángulo rectángulo. Vamos a ver cómo cometer esto si se nos da la longitud ese un página y la medida ese un ángulo agudo. La a vez ese aprendas cómo asentamiento un triángulo rectángulo, podrás convenio muchos problemas ese mundo verdadero – como el asignaturas de la rampa los vimos al bocadillo de la lección – y los únicas herramientas que necesitarás son las justicia de las funciones trigonométricas, ns Teorema después Pitágoras, y laa calculadora.


Ejemplo

Problema

Necesitas constructor una rampa con las seguir dimensiones. Resuelve los triángulo rectángulo apareció a continuación. Estados unidos las aproximaciones

*
 y
*
, y proporciona ns longitudes un la decena qué es más cercana.

*

Recuerda ese los ángulos agudos dentro de un triangulos rectángulo son complementarios, lo ese significa ese suman 90°. Qué

*
, quiere llama que
*
.

*

Puedes influencia la definición de la cosecante para lo encontré c. Reemplaza la la medida del ángulo en el izquierda de la ecuación y usa el triángulo para logrado la causa principal en la derecha. Al asentarse la ecuación y redondear uno la decena además cercana obtienes

*
.

*

De sendero similar, puedes aprovechar la definir de la tangente y la medida del esquina para encontré b. Resolviendo la ecuación y redondeando a la decena además cercana obtienes

*
.

Respuesta

*

La rampa necesita ser medir 11.7 pies de largo.


En el asignaturas anterior, te proporcionaron ese valores de las subtraedación trigonométricas. Dentro el asignaturas siguiente, necesitarás influencia las teclas del las decastas trigonométricas de tu computadoras para encontrar ese valores.


Ejemplo

Problema

Resolver los triángulo rectángulo mostrado. Redondea las longitudes ns la decena además cercana.

*

Los ángulos agudos estaban complementarios, lo los significa que su suma es 90°. Como

*
, entonces
*
.

*

Puedes aprovechar la definir de coseno para calcular x. Estados unidos tu calculadora para encontrar los valor del

*
 y ns triángulo a ~ preparar la razón de la derecha. Resolviendo la ecuación y redondeando uno la decena además cercana, obtienes
*
.

*

Para encontré y, puedes usar otra función trigonométrica (como el coseno) o puedes aprovechar el Teorema de Pitágoras. Resolviendo la ecuación y redondeando un la decena más cercana, obtienes

*
.

Respuesta

*

Ahora conocemos los tres las fiestas y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo.


Algunas veces vas a poder recibir apropiado información para el triangles rectángulo hacía resolverlo, pero esa información yo podría ~ no incluir la medida del los ángulos agudos. En esta situación, necesitas aprovechar la inversa del las funciones trigonométricas en tu computadoras para convenio el triángulo.


Ejemplo

Problema

Resolver el triángulo rectángulo aparecido a continuación, puesto que

*
. Encontraba las longitudes precisas y los anglos aproximados al grado además cercano.

*

No te proporcionan no existe medida de ángulo, aun puedes apalancamiento la justicia de la cotangente a ~ encontrar los valor después n.

*

Usa la causa principal que se te da ns la izquierda y la información ese triángulo a la derecha. Multiplica y resuelve n.

*

Usa el Teorema después Pitágoras a ~ encontrar los valor del p.

*

Podemos apalancamiento el triángulo a ~ encontrar el valor después la tangente y la tecla ese la inversa del la tangente en tu computadoras para alcanzó el ángulo. Redondeando al grado más cercano,

*
 es aproximadamente 39°,
*
. Resta 39°, después 90° para logrado
*
.

Respuesta

*

Ahora conocemos los tres las fiestas y los tres ángulos. Su valores se muestran dentro de el dibujo.


¿Cuál es el valor ese x a la decena qué es más cercana?

*

A) 4.57

B) 1.97

C) 0.90

D) 0.22


Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4.57

Incorrecto. Quizás preparaste mal la razón, igualando

*
 y
*
. La a manera adecuada de preparar la ecuación denominaciones . La respuesta adecuada es 1.97.

B) 1.97

Correcto. La a manera de preparar la ecuación es influencia la justicia del coseno. Esto te da . La solución de esta ecuación es:

*
. Esta se redondea uno 1.97.

C) 0.90

Incorrecto. Quizás preparaste bien la ecuación , y la resolviste correctamente. No tener embargo, su calculadora cuales estaba en grados. La respuesta correcta es 1.97.

D) 0.22

Incorrecto. Probablemente preparaste está bien la ecuación , pero luego resolviste incorrectamente como

*
. La respuesta adecuada es 1.97.

Ver más: Como Se Llamaba La Esposa De William Shakespeare Y Su Esposa, Anne Hathaway


Ángulos Especiales


Como rumor general, necesitas apalancamiento la calculadora para encontrar der valores del las descendientes trigonométricas para alguna medida particular. No tener embargo, esquina que miden 30°, 45°, y 60° — los encontrarás en muchos inconvenientes y solicitud — ellos eran especiales. Tu puedes hacer encontrar los valores exactos de estas subtraedación sin la a calculadora. Veamos cómo..

Supongamos ese tienes un triangles rectángulo alcanzar un ángulo agudo que valorar 45°. Como los anglos agudos estaban complementarios, ns otro esquina también tengo que medir 45°. Ya que los dos ángulos agudos son iguales, der catetos también tienen que tener exactamente la misma longitud, por ejemplo, uno unidad.

*

Puedes determina la hipotenusa usando el Teorema después Pitágoras.

*

Ahora tienes todos los lados y ángulo en los triángulo rectángulo.

*

Puedes aprovechar éste triangles (que a veces se contar triángulo 45° - 45° rápido 90°) para encontraba todas las descendientes trigonométricas hacia 45°. Laa manera de celebrar éste triángulo denominaciones notar los la hipotenusa eliminar  veces la longitud ese cualquiera después los catetos.


Ejemplo

Problema

Encontrar los valores después las seis funciones trigonométricas hacía 45° y racionalizar ese denominadores si eliminar necesario.

*

*

*

Usa las definiciones de seno, coseno y tangente. Observa que debido a a que der lados opuesto y adyacente ellos eran iguales, los seno y el coseno ~ lo son.

*

*

*

Usa ns identidades recíprocas. Mirar que debido a que der lados desafío y adyacente estaban iguales, ns seno y ns coseno demasiado lo son.

Respuesta

*

*


Puedes cliente otro triángulo que puedes usar para encontrar todas las descendientes trigonométricas para 30° y 60°. Comienza con un triangulos equilátero alcanzan los lados mismo midiendo 2 unidades. Correcto divides ns triángulo equilátero uno la mitad, produces dos triángulos de alcanzar ángulos de 30°, 60° y 90°. Estos doble triángulos rectángulos estaban congruentes. Los dos tienen la a hipotenusa ese longitud dos y una bases de longitud 1.

*

Puedes determinación la altura usando ns Teorema ese Pitágoras.

*

Aquí vemos la mitad del triángulo equilátero dibujado horizontalmente.

*

Puedes aprovechar este triangulos (que en ocasiones se llama triángulo 30° —apoyándose 60° - 90°) para encontraba todas las descendientes trigonométricas para 30° y 60°. Observar que la hipotenusa eliminar dos veces el cateto hasta luego corto ese es opuesto al esquina de 30°, de manera ese . La longitud de cateto más largo ese es controvertidas al esquina de 60° denominaciones  veces la longitud de cateto hasta luego corto.


Ejemplo

Problema

Encontrar los valores ese

*
. Racionalizar ese denominadores si denominada necesario.

*

*

Usa las justicia de seno, coseno y tangente. Para cada ángulo, asegúrate de influencia los catetos que son opuestos y adyacentes uno ese ángulo. De ejemplo,  es opuesto a 60°, pero adyacente un 30°.

*

*

Recuerda ese la secante denominada el recíproco después coseno y que la cotangente denominada el recíproco de la tangente. Racionaliza der denominadores.

Respuesta

*

*


Puedes influencia la información ese los triángulos 30° rápido 60° -papposo 90° y 45° —apoyándose 45° —apoyándose 90° para asentarse triángulos similares sin influencia una calculadora.


Ejemplo

Problema

¿Cuál es el valor del x dentro el triangulos siguiente?

*

Como los dos catetos miden lo mismo, ese dos ángulo agudos deben cantidad iguales, de lo los miden 45° cada uno.

*

*

En un triángulo 45° rápido 45° —apoyándose 90°, la longitud del la hipotenusa denominada  veces la longitud del un cateto. Puedes aprovechar ésta situación para encontrar x. Recuerda racionalizar ns denominador.

Aquí vemos otra camino de resolver el problema. Puedes aprovechar la justicia de seno para encontré x.

Respuesta

*


También pudiste de usado el Teorema ese Pitágoras para asentamiento el problema anterior, el cual habría producido la ecuación

*
.


Ejemplo

Problema

Resolver los triángulo rectángulo apareció a continuación.

*

Los anglos agudos estaban complementarios, después

*
. Este denominaciones un triangles 30°- 60°- 90° . Hoy dia podemos influencia las descendientes trigonométricas para encontré las longitudes después los lados faltantes.

*

Como conocemos todas las medidas de los ángulos, ahora necesitamos encontrar las longitudes ese los lado faltantes. Para encontrar c (la longitud después la hipotenusa), podemos apalancamiento la función seno porque sabemos los  y conocemos la longitud de lado opuesto.

*

Para lo encontré a (la longitud del lado opuesto al ángulo A), podemos apalancamiento la función de la tangente porque conocemos

*
y la longitud de lado adyacente.

Respuesta

*

Ahora conocemos todos der lados y todos ese ángulos. Su valores se muestran dentro de el dibujo.


Si

*
, ¿cuál es el valor ese
*
?

A) 2

B)

C)

D)


Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 2

Incorrecto. Usa como referencia ns triángulo 30°- 60°- 90°. De por ahí puedes mirar que . Luego . Seguramente usaste el ángulo incorrecto y calculaste

*
, o usaste el ángulo correcto todavía calculaste
*
. Necesitas encontrar . La respuesta correcta es .

B)

Incorrecto. Usa como referencia ns triángulo 30°- 60°- 90°. De por ahí puedes mirar que . Entonces . Seguramente calculaste equivocadamente

*
. Necesitas lo encontré . La respuesta adecuada es .

C)

Incorrecto. Seguramente calculaste correcto , todavía cometiste un cometer un error al racionalizar ns denominador. La respuesta correcta es .

D)

Correcto. Usa qué referencia ns triángulo 30°- 60°- 90°. De por ahí puedes observar que . Después . Entonces

*
.

Usando Trigonometría para resolver Problemas Reales


Hay situaciones en el planeta real, qué la erección de una rampa o a muelle después carga, en los que tienes un triángulo rectángulo y seguro información acerca sus las fiestas y ángulos, y tú quieres encontrar las medidas desconocidas. Es acá donde conocer trigonometría te pueden ayudar.


Ejemplo

Problema

Ben y Emma salieron uno volar laa cometa. Emma puede reloj que la cuerda después su cometa forma un ángulo de 70° alcanzar respecto un la tierra. La continuar está directamente sobre Ben, que está parado a cincuenta pies ese distancia. ¿cuántos pies después cuerda ha unisthed Emma? Redondear al pie hasta luego cercano.

*

Queremos encontré la longitud del la cuerda los ha soltado. Denominada la hipotenusa de triángulo rectángulo mostrado.

*

Como la calle de 50 pies corresponde al junto a adyacente al ángulo de 70° , puedes aprovechar la función coseno para lo encontré x.

*

Resuelve la ecuación hacía x. U.s.a. Una calculadora para encontrar el valor numérico. La contestado se redondea a 146.

Respuesta

Emma ha unisthed aproximadamente ciento cuarenta y seis pies ese cuerda.


En el ejemplo anterior, te enviar un lado y un ángulo agudo. En el siguiente, te solamente dos las fiestas y té piden encontré un ángulo. Encontrar un ángulo normalmente rapé usar las funciones trigonométricas inversas. La letra griego teta, θ, se usa bajo para representante un esquina desconocido. En este ejemplo, θ representa el ángulo de elevación.


Ejemplo

Problema

Una rampa a ~ sillas de ruedas se coloca para unas escaleras de manera los un polo queda a dos pies acerca el suelo. El otro extremo está en seguro punto y la calle horizontal es de veintiocho pies, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál eliminar el ángulo de elevación redondeado un la decena después grado además cercana?

*

El esquina de elevación está caracterizado como

*
 en los diagrama. Las longitudes dadas son ese lados contender y adyacente a dicho ángulo, entonces puedes usar la constan tangente para encontraba
*
.

*

Quieres encontraba la medida ese un esquina que te da seguro valor del tangente. Esta significa que necesitas lo encontré la inversa ese la tangente. Recuerda ese debes apalancamiento las teclas second y TAN dentro tu calculadora. Observa el lugar de las centenas hacia redondear ns la decena qué es más cercana.

Respuesta

El ángulo de elevación denominaciones de más o menos 4.1°.


Recuerda que ese problemas que incluir triángulos alcanzar ciertos anglos especiales puede ser ~ resolverse sin calculadora.


Ejemplo

Problema

Se estados unidos una cerca para formulario un corral triangular con el lado qué es más largo de 30 pies, qué se muestra abajo. ¿Cuál es la la medida exacta del lado contender al esquina de 60°?

*

Llamemos x ns la longitud desconocida. Qué conoces la longitud del la hipotenusa, puedes influencia la función seno.

*

Este eliminar un triángulo 30°- 60°- 90°. Entonces, puedes calcular el valores exacto del a función trigonométrica sin aprovechar una calculadora.

*

Resuelve la ecuación hacia x.

Respuesta

La largo exacta de lado contender al ángulo de 60°es

*
 pies.


Algunas veces el triángulo rectángulo puede ser parte ese un sistema qué es más grande.

Una persona está sujeta ns un correo telefónico a tres pies bajo el extremo superior de poste, qué se muestra abajo. La persona es enganchada a 14 pies después poste y dar forma un esquina de 64° con el suelo. ¿Cuál eliminar la alturas a la que ser la gente sujeta? Redondea la respuesta a la decena después pie más cercana.

*

A)

B)

C)

D)


Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Pudiste sí confundido uno qué causa principal corresponde qué función trigonométrica. Necesitas convenio la ecuación , dónde x representar la distancia vertical en ~ la basen del poste asciende donde la persona ~ ~ sujeta. La respuesta adecuada es .

B)

Correcto. X representante la calle vertical desde la bases del poste hasta donde la persona ser sujeta. Luego . Resolviendo x en la ecuación te da

*
.

C)

Incorrecto. Semeja que preparaste y resolviste correcta la ecuación para lo encontré la pantalones largos desconocida. No tener embargo, cuales leíste está bien el problema. Si sumaste el tres calculaste la altura total ese poste. La respuesta adecuada es .

D)

Incorrecto. Semeja que preparaste y resolviste una ecuación para encontraba la longitud del cable (la hipotenusa ese triángulo). Necesitas asentarse la ecuación , dónde x representar la calle vertical de la bases del poste asciende donde la persona ser sujeta. La respuesta adecuada es .

Sumario


Hay mucho maneras ese encontrar der lados y los anglos desconocidos dentro de un triangulos rectángulo. Asentamiento el triángulo rectángulo puede hacer lograrse usando las definiciones de las funciones trigonométricas y los Teorema de Pitágoras. A esta proceso se le llama resolver el triangles rectángulo. Cantidad capaz de asentarse un triangles rectángulo denominada útil para asentarse una variedad del problemas reales como la erección de una rampa hacia sillas ese ruedas.

Ver más: ¿ Como Aumentar El Límite De Extracción Por Cajero Banco Provincia En 2021

Puedes encontré las cantidad exactas ese las decastas trigonométricas para anglos que midan 30°, 45°, y 60°. Puedes encontrar valores exactos para der lados del triángulo 30°, 45°, y 60° sí recuerdas que

*
 y . Hacía otras medidas del ángulos, denominaciones necesario influencia una computadora para lo encontré valores aproximados de las subtraedación trigonométricas.